Vektoren
Was sind Vektoren?
Sucht man nach der Definition für einen Vektor, findet man drei unterschiedliche Ansätze.
Beispiele für Vektoren, die als Pfeil im Raum dargestellt werden.
Geometrische Definition eines Vektors
Ein Vektor ist eine gerichtete Größe, die einen bestimmten Betrag besitzt.
Ein Vektor wird durch einen Buchstaben gekennzeichnet, über dem ein Pfeil steht.
Geometrisch wird ein Vektor als Pfeil dargestellt (visualisiert).
- Die Länge des Vektors (im 2- oder 3-dimensionalen Raum) entspricht dem Betrag des Vektors.
- Ein Vektor hat eine eindeutig vorgegebene Richtung.
- Ein Vektor ist frei im Raum verschiebbar.
- Ein Vektor ist unabhängig von einem vorgegebenen Koordinatensystem.
- Ein Vektor ist durch die Angabe seines Betrags und seiner Richtung eindeutig definiert.
Algebraische Definition eines Vektors
Ein Vektor ist eine Zusammenfassung (reeller) Zahlen in folgender Form:
; 
Dabei wird x als (reeller) Vektor bezeichnet. Geht es um die algebraische Definition eines Vektors, so werden diese häufig als fettgedruckte Kleinbuchstaben zum Einsatz. Die algebraische Definition eines Vektors als Zahlentupel ist eng mit Linearen Gleichungssystemen verknüpft.
Die Zahlen xn heißen (reelle) Komponenten des Vektors.
Mathematische (mengentheoretische) Definition des Vektors
Ein Vektor ist Element eines Vektorraums.
Ein Vektorraum ist eine Menge
an Vektoren für die gilt:
Alle Vektoren dieses Vektorraums können miteinander addiert bzw. mit einem Skalar
(Zahl) multipliziert werden.
Das Ergebnis dieser Rechenoperationen ist wiederum ein
Vektor des Vektorraums.
Man sagt auch: Der Vektorraum ist abgeschlossen bezüglich der Addition und der Multiplikation mit einem Skalar.
Vektoren in der Physik und Elektrotechnik
In der Elektrotechnik und Physik hat man es meistens mit 2- oder 3-dimensionalen Vektoren zu tun. Man stellt auf diese Weise gerichtete (vektorielle) Größen dar. Beispiele für gerichtete Größen: Kraft, elektrische Feldstärke u.a.
Rechnen mit Vektoren
Die algebraische Definition eines Vektors bildet die Grundlage für quantitative Berechnungen von Vektoren. Man benötigt also eine Art von Übersetzungsvorschrift für einen geometrisch definierten Vektor zu einem algebraisch definierten Vektor.
Für die Addition und Multiplikation von Vektoren kann man algebraische Rechenregeln herleiten. Addition und Multiplikation können aber auch geometrisch visualisiert werden.
Die algebraischen Rechenregeln können unverändert auf Vektoren mit mehr als 3 Dimensionen erweitert werden.