Punkte und Vektoren

Punkte im kartesischen Koordinatensystem

Punkte und Vektoren sind geometrisch zwei völlig unterschiedliche Gebilde. Während eine Vektor eine räumliche Ausdehnung hat, besitzt ein Punkt keine räumliche Ausdehnung. Punkte werden üblicherweise mit Großbuchstaben bezeichnet, um sie von Vektoren auch optisch abzugrenzen.

Dennoch sind Vektoren und Punkte verknüpft. Ein Vektor ist die direkte Verbindung zwischen zwei Punkten, nämlich seinem Anfangs- und Endpunkt.

Die Lage eines Punktes A ist durch die Angabe seiner Koordinaten definiert.

Ortsvektoren

Wie kann man nun Punkte und Vektoren miteinander "verheiraten", damit einheitliche Berechnungen mit beiden geometrischen Gebilden möglich werden?
Dazu muss man sich überlegen, wie man einen Punkt sinnvoll als Vektor in seinem Bezugssystem darstellen kann.

Hierfür definiert man den Ortsvektor eines Punktes A. Es ist der Vektor, der vom Ursprung des Bezugssystems (Koordinatensystem) zum Punkt A zeigt.

Der Ortsvektor wird im Gegensatz zu "echten" Vektoren durch zwei Großbuchstaben mit einem Vektorpfeil darüber dargestellt. Der erste Buchstabe ist ein O und steht für den Ursprung (Origin). Der zweite Großbuchstabe ist der Bezeichner des Punktes.

Der Ortsvektor des Punktes A ist also der Vektor, der vom Ursprung zum Punkt A geht.

Eigenschaften von Ortsvektoren

Abweichend zu "echten" Vektoren besitzen Ortsvektoren besondere Eigenschaften:

• Die Koordinaten des Punktes und damit die Komponenten des Ortsvektors sind abhängig von der Wahl des Bezugssystems.
• Der Ortsvektor geht immer vom Ursprung aus. Seine Spitze zeigt immer zum Punkt. Er ist also nicht frei im Raum verschiebbar.

Vektoren von Punkt zu Punkt

Sind zwei Punkte im Raum gegeben, so kann man den Vektor von einem Punkt zum anderen Punkt aufstellen. Dabei ist es nicht egal bei welchem Punkt man beginnt, denn ein Vektor besitzt (im Gegensatz zu einer Strecke) eine eindeutig definierte Richtung.

Der Vektor vom Punkt A (Anfangspunkt) zum Punkt B (Endpunkt) wird als bezeichnet.

Der Vektor von B nach A wird als bezeichnet.

Die Komponenten des Vektors kann man aus den Koordinaten der Punkte A und B wie folgt berechnen:

Diese Gleichung ergibt sich direkt aus dem rechts abgebildeten Vektorzug. Man gelangt von A nach B, indem man zunächst den Ortsvektor A in Gegenrichtung läuft und dann den Ortsvektor B.