Geraden

Was ist eine Gerade geometrisch gesehen?

In der uns geläufigen euklidischen Geometrie (Geometrie des zwei- oder dreidimensionalen Raumes) ist eine Gerade eine Linie ohne Anfang und Ende. Auf dieser Linie, die übrigens (im Gegensatz zu einem Vektor) keine Richtung besitzt, liegen unendlich viele Punkte.

Durch die Angabe von zwei Punkten ist eine Gerade (und damit die Lage aller Punkte auf dieser Geraden) eindeutig bestimmt.

Zusammenhang: Gerade - lineare Funktion

Wenn man noch nie von Vektorrechnung gehört hat, sind einem Geraden meistens als lineare Funktionen bekannt.

Doch was hat eine lineare Funktion mit einer Geraden zu tun?
Alle Punkte P(x|y), die durch die oben angegebene lineare Funktion definiert werden, liegen geometrisch gesehen auf einer Geraden. Oder anders gesagt: Das Schaubild einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Dabei wird die Lage der Geraden im Koordinatensystem durch die Parameter m und b in der Funktionsgleichung eindeutig festgelegt.

Geraden als Vektorgleichung im dreidimensionalen Raum

Eine Gerade ist durch die Angabe zweier Punkte, die auf der Geraden liegen, eindeutig bestimmt. Diese Tatsache kann man für die vektorielle Darstellung einer Geraden ausnutzen. Beispiel: Durch die Angabe dieser beiden Punkte wird die Gerade f eindeutig im dreidimensionalen Raum festgelegt.

Nun gilt es, eine Gleichung für alle Punkte zu finden, die auf der Geraden durch die Punkte A und B liegen.

Dazu folgende Überlegung:
Geht man vom Punkt A aus das k-Fache (wobei k beliebig gewählt werden kann) des Vektors , so kommt man zu einem Punkt C, der immer auf der Geraden durch A und B liegt.

Bei beliebiger Wahl von k erreicht man also alle Punkte auf der Geraden durch A und B.

Der Vektor vom Ursprung zum "Ausgangspunkt" der Geraden wird als Stützvektor bezeichnet.

Der Vektor vom A nach B, der die Richtung der Geraden vorgibt, wird als Richtungsvektor bezeichnet.

Als Stützvektor kann prinzipiell jeder Punkt auf der Geraden (also auch B) verwendet werden.

Als Richtungsvektor kann jedes Vielfache des Vektors verwendet werden.

Die Geradengleichung in Parameterform hängt direkt von der Wahl des Stützvektors und des Richtungsvektors ab. Ein und dieselbe Gerade kann unendlich viele unterschiedliche Geradengleichungen in Parameterform besitzen.