Ebenen

Ebenen im dreidimensionalen Raum

Eine Ebene im dreidimensionalen Raum ist eine unendlich ausgedehnte, ebene Fläche, deren Lage im Raum eindeutig festgelegt ist.

Zwei Geraden, die sich schneiden, spannen eine Ebene im Raum auf.

Ebenengleichungen in Parameterform

Bei der Definition einer Ebene, geht es im Prinzip darum, die Lage der Punkte, die in der Ebene liegen zu definieren.

Da zwei Geraden eine Ebene aufspannen, liegt es nahe, eine Geradengleichung als Basis für die Definition einer Ebene zu nehmen.

Diese Geradengleichung legt die Lage aller Punkte fest, die auf der Geraden g liegen. Ergänzt man nun die Geradengleichung durch den Richtungsvektor von h, multipliziert mit einem Parameter, so erhält man eine Gleichung, die alle Punkte auf der Ebene definiert.

Die Ebenengleichung unterscheidet sich von der Geradengleichung in Parameterform lediglich durch einen zweiten Richtungsvektor.

Der Stützvektor der Ebene ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der beiden Geraden, die die Ebene aufspannen.

Die "Richtungsvektoren" einer Ebene werden als Spannvektoren bezeichnet. Sie sind Vielfache der Richtungsvektoren der aufspannenden Geraden.

Lage einer Geraden bezogen zu einer Ebene

Manchmal ist es von Interesse wie eine Gerade bezüglich einer Ebene verläuft. Im dreidimensionalen Raum gibt es dafür drei Möglichkeiten:

1. Ebene und Gerade schneiden sich in einem Punkt.
2. Ebene und Gerade schneiden sich in unendlich vielen Punkten. ⇔ Die Gerade verläuft in der Ebene.
3. Ebene und Gerade schneiden sich nicht. ⇔ Die Gerade verläuft parallel zur Ebene.

Man erhält eine Schnittgleichung, wenn man die Parameterform einer Geraden g mit der Parameterform einer Ebene E gleichsetzt.

Gerade und Ebene schneiden sich

Die Gerade liegt in der Ebene

Ebene und Gerade sind parallel