Potenzfunktionen

Aufgabe ii.2 a

Einfachstes Beispiel: f(x)=x⁴

Aufgabe ii.2 b

Vorbemerkung:

Schnittpunkte mit der x-Achse sind Nullstellen mit VZW (Vorzeichenwechsel).

Berührpunkte mit der x-Achse sind Nullstellen ohne VZW.

Jede Potenzfunktion 3. Grades hat mindestens eine Nullstelle mit VZW, kann also geschrieben werden durch:

Beweis (durch Widerspruch):

Angenommen f(x) hätte genau eine Nullstelle mit VZW. Dann gäbe es eine Linearfaktorzerlegung von f(x) in der Form:

Jedoch muss die Restfunktion, die eine Funktion dritten Grades ist, mindestens eine weitere Nullstelle haben.
Dies steht jedoch im Widerspruch zur Annahme.
Eine Potenzfunktion 4. Grades kann die x-Achse nicht nur ein Mal schneiden.

Eine Potenzfunktion 4.Grades muss die x-Achse mindestens zwei Mal oder gar nicht schneiden.

Aufgabe ii.2 c

Beweis:

Fall i: a>0

⇒  f(x) muss ein absolutes Minimum (untere Schranke) besitzen.

Fall ii: a<0

⇒  f(x) muss ein absolutes Maximum (obere Schranke) besitzen.

Somit ist f(x) in beiden Fällen beschränkt.

q.e.d.