Logarithmen
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
Den numerischen Wert eines Exponentialterms zu bestimmen, bereitet uns mit den heutigen elektronischen Hilfsmitteln keine größeren Schwierigkeiten. Ohne diese allgegenwärtigen Hilfsmittel wird aber auch diese "einfache" Aufgabe zum aufwändigen Problem. Versuchen Sie einmal 10π ohne Taschenrechner berechnen...
Doch was ist, wenn der Wert eines Exponentialterms bekannt ist und daraus der Wert des Exponenten berechnet werdenb soll?
Beispiel: 10x=20 Welchen Wert wird x wohl haben?
Um diese Gleichung lösen zu können, benötigen wir die Umkehrfunktion zu y=10x oder allgemeiner die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
Man bezeichnet diese Umkehrfunktion als Logarithmus (zur Basis a)
Logarithmus zur Basis a:
In Worten:
Der Logarithmus zur Basis a von y ist die Zahl x mit der man a potenzieren muss, um y zu erhalten.
Die Lösung des oberen Beispiels lautet also:
x=log10(20)
Bestimmen der numerischen Lösung mit dem Taschenrechner
Der Logarithmus zur Basis 10 ist praktisch auf allen Taschenrechner als log-Taste zu finden. So lässt sich die Lösung des obigen Beispiels mit dem Taschenrechner auch numerisch bestimmen.
x≈1,301
Neben der log-Taste für den "Zehnerlogarithmus" findet sich auf den meisten Taschenrechnern auch eine ln-Taste für den natürlichen Logarithmus, dessen Basis die Eulersche Zahl ist.
Umrechnen von Logarithmen mit verschiedenen Basen
Wie die Gleichung 10x=20 gelöst werden kann ist nun klar. Auch die numerische Lösung kann mit dem Taschenrechner bestimmt werden.
Wie ist es aber mit der Gleichung 3x=20?
Die Lösung wäre laut der Definition des Logarithmus x=log3(20)
Allerdings wird man den "Dreierlogarithmus" auf einem gängigen Taschenrechner vergeblich suchen. Man kann aber mit Hilfe der Definition des Logarithmus und den Potenzgesetzen eine Umrechnung finden so, dass die Gleichung mit dem Zehnerlogarithmus gelöst werden kann.
Dazu folgender Gedankengang (wir müssen beim Zehnerlogarithmus bleiben!):
Aus 10x=a folgt die Lösung für x:
x=log10(a)
Also muss folgende Gleichung gelten:
Dies gilt natürlich auch für a=3.
Damit kann die 3 in der Gleichung 3x=20 ersetzt werden:
Das Gesetz zur Potenzierung von Potenzen besagt: 
Angewendet auf die obige Gleichung ergibt sich:
oder 
mit
Die Lösung der Gleichung 10z=20 lautet:
Setzt man für , so ergibt sich:
Diese Gleichung kann man nun nach x auflösen und erhält
als Lösung der Gleichung 3x=20.
Allgemein kann man Logarithmen verschiedener Basen ineinander umrechnen:
Besondere Logarithmen
Mathematisch gesehen gibt es keine "besonderen" Logarithmen. Im Alltag gängig sind aber der Logarithmus zur Basis 10 oder dekadische Logarithmus oder Zehnerlogarithmus.
Dieser wird oft nur als log(x) bezeichnet. In der Literatur gilt meistens die abkürzende Schreibweise:
Häufig findet man auch den natürlichen Logarithmus oder Logarithmus naturalis, dessen Basis die Eulersche Zahl ist. Dieser wird abkürzend mit ln(x) bezeichnet.
In der Informationstechnik hat man es manchmal mit dem Zweierlogarithmus oder dem binären Logarithmus zu tun.
Leider ist der Gebrauch der oben genannten Abkürzungen nicht einheitlich. Im Zweifelsfall muss man daher immer prüfen, welcher Logarithmus gemeint ist.
Logarithmengesetze
Aus den Potenzgesetzen folgen auch die Rechenregeln für den Umgang mit Logarithmen. Diese werden auch als Logarithmus-Regeln oder Logarithmengesetze bezeichnet.
